Bukti Teorema Interpolasi Lagrange

Interpolasi Lagrange merupakan teorema yang memiliki banyak kegunaan pada dunia nyata. Berikut ini akan dijabarkan pembuktian Teorema Lagrange.

Teorema
Jika (x_0,y_0),(x_1,y_1),..,(x_n,y_n) adalah n+1 titik data di \mathbb{R}^2 dengan x_0<x_1<…<x_n, maka terdapat dengan tunggal polinomial p_n(x) berderajat n sedemikian sehingga p_n(x_i)=y_i untuk setiap i=0,1,..,n.

Bukti
Pertama akan dibuktikan eksistensi dari p_n
Misalkan R_1 = \dfrac{(x-x_0)(x-x_2)(x-x_3)…(x-x_n)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)(x_1-x_3)…(x_1-x_n)}
Maka diperoleh R_1(x_1)=1 dan R_1(x_0)=R_1(x_2)=R_1(x_3)=…=R_1(x_n)=0.
Dengan cara yang sama dikontruksi R_0,R_2,R_3,…,R_n sedemikian sehingga R_j(x_j)=1 dan R_j(x_i)=0 untuk setiap i\ne j atau dapat ditulis
R_j(x) = \dfrac{f(x)}{(x-x_j)f'(x_j)} ,dengan f(x)=(x-x_0)(x-x_1)(x-x_2)(…)(x-x_n)
Maka p_n= \sum y_iR_i(x) adalah polinomial dengan koefisien real yang memenuhi p_n(x_i)=y_i untuk i=0,1,2,3,…,n.
Selanjutnya akan dibuktikan ketunggalan p_n. Misalkan terdapat dua polinomial berbeda Q_n dan R_n berderajat kurang dari atau sama dengan n yang menginterpolasi n+1 data yang sama. Akibatnya Q_n-R_n merupakan polinomial berderajat kurang dari n. Sementara itu (Q_n-R_n)(x_i)=(x-x_i)=0, i=0,1,2,..,n sehingga Q_n-R_n dapat dinyatakan sebagai Q_n-R_n=(x-x_0)(x-x_1)(x-x_2)…(x-x_n)s(x) dengan s(x) suatu polinomial. Berarti polinomial Q_n-R_n mempunyai derajat lebih dari atau sama dengan n+1, kontradiksi akibatnya Q_n=R_n.

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *